انواع میانگین و کاربردهای آنها

اگر دانشجو هستید با احتمال زیاد یک درس در آمار و احتمال گذرانده اید یا خواهید گذراند. در آمار و احتمال مقدماتی 3 نوع میانگین (Mean) تعریف می شود، میانگین حسابی (Arithmetic Mean)، میانگین توافقی (Harmonic Mean) و میانگین هندسی(Geometric Mean).

برای داده های فرضی $x_1,x_2,\ldots,x_n$ این سه نوع میانگین بصورت زیر تعریف می کنیم:

1. میانگین حسابی :

$\mu_A=\frac{1}{n}.\sum_{i=1}^{n}x_i$

2. میانگین توافقی (در صورتیکه داده ها غیر صفر باشند تعریف می شود):

$\mu_H=\displaystyle\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}$

3. میانگین هندسی (در صورتیکه داده ها مثبت باشند تعریف می شود):

$\mu_G=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{1/n}$

ثابت می شود رابطه ی زیر بین این سه نوع میانگین برقرار است:

$‎\mu_H\leq\mu_G\leq\mu_A$

تساوی وقتی برقرار خواهد شد که همه ی داده ها با همدیگر برابر باشند.

اما صرفنظر از نحوه ی محاسبه، معنی آنها چیست و کی باید از آنها استفاده کرد؟ دانشجویان بطور سنتی با میانگین حسابی و کاربردهای آن آشنا هستند. برای محاسبه ی معدل نمرات دروس مختلف، محاسبه ی متوسط درآمد ماهانه در یک سال بخصوص و صدها متوسط دیگر از میانگین حسابی استفاده می کنیم.

تا آنجا که من میدانم، کتب آماری موجود در بازار ایران در مورد چیستی میانگینها ی توافقی و هندسی توضیح واضحی نمی دهند. اکثر این کتابها، بخصوص آنهائی که برای رشته های علوم انسانی نوشته شده اند، توصیه می کنند که هر وقت واحد اندازه گیری داده ها ترکیبی باشد باید از میانگین توافقی استفاده کرد و یا اینکه
برا ی محاسبه ی متوسط متوسط نرخ رشد از میانگین هندسی استفاده کنید.

در زیر ابتدا میانگین های حسابی و هندسی را بررسی می کنیم، سپس میانگین توافقی را از روی میانگین حسابی بدست می آوریم.

میانگین های حسابی و هندسی

مستطیلی را در نظر بگیریم که طول اضلاع آن برابر( ‎a‎ ، ‎ b) و محیط این مستطیل برابر ‎a+b)2) است، حال فرض کنیم می خواهیم این مستطیل را به مربع تبدیل کنیم، مشروط بر اینکه محیط آن ثابت بماند. بنابرین طول هر ضلع آن باید برابر 2/(a+b) باشد، که میانگین حسابی اضلاع مستطیل است. توجه داشته باشیم کمیت مورد نظر، محیط مربع، حاصل عمل جمع دو عدد می باشد. در واقع میانگین حسابی اثر هر دو ضلع را بصورت جمعی در خود دارد.

حال فرض کنیم مساحت مستطیل مد نظر باشد، این مساحت برابر ‎ ab‎ خواهد بود. همانند قبل فرض کنیم بخواهیم مستطیل را به مربع تبدیل کنیم به شرط اینکه مساحت آن ثابت باشد. بنابرین طول هر ضلع مربع برابر ‎ $\sqrt{ab}$ انتخاب شود. این مقدار در واقع میانگین هندسی اضلاع مستطیل است. دقت داشته باشیم که مساحت مستطیل حاصل عمل ضرب دو عدد است. این به این معنی است که میانگین هندسی اثر هر دو ضلع را بصورت ضربی در خود خلاصه کرده است.

مثال دیگری را در نظر بگیرید، فرض کنیم مدیر کارخانه ای می خواهد متوسط حقوق کارکنان کارخانه a ریال باشد، اگر وی بخواهد حقوق همه برابر باشد، سهم هر فرد را تعیین کنید.

پاسخ واضح است، سهم هر فرد a ریال باید تعیین شود.

از مثالهای فوق چنین بنظر می رسد که هر گاه ماهیت کمیت مورد نظر طوری باشد که از جمع چندین عدد حاصل شود باید از میانگین حسابی و هر گاه ماهیت ضربی داشته باشند از میانگین هندسی استفاده کرد.

محاسبه ی متوسط نرخ رشد
در اقتصاد و مدیریت نرخ رشد در سال t نسبت به سال t-1 بصورت

$r_{t}=\frac{x_{t}-x_{t-1}}{x_{t-1}}$

تعریف می شود. بنابرین:

$\!\!\!\!\!\!\!\!\! x_1 &=& x_{0}(1+r_{1})=x_{0}\cdot R_1\\ x_2 &=& x_{1}(1+r_{2})=x_{0}(1+r_{1})(1+r_{2})= x_0 \cdot R_1 \cdot R_2\\ x_3 &=& x_{2}(1+r_{3})=x_{0}(1+r_{1})(1+r_{2})(1+r_{3})=x_0 \cdot R_1 \cdot R_2\cdot R_3\\ &\vdots& \\ x_n &=& x_{n-1}(1+r_{n})=x_0 \prod_{i=1}^{n}(1+r_i)=x_{0}\cdot\prod_{i=1}^{n}R_i$

یعنی داده ها ماهیت ضربی دارند. داده ها بطور متوالی در مقداری غیر ثابت ضرب شده و داده ی بعدی را تولید می کنند (آیا شما هم به تصاعد هندسی فکر می کنید!؟ بخاطر داشته باشید در تصاعد هندسی قدر نسبت ثابت است).

حال فرض کنیم بخواهیم نرخ رشد سالانه ثابت باشد. مقدار آنرا طوری تعیین کنید که در پایان سال nام نرخ رشد نسبت به سال پایه (سال صفر) تغییر نکند.

یک محاسبه ی ساده نشان می دهد که این مقدار باید برابر

$1+r=R=\left(\displaystyle{\prod_{i=1}^{n}R_i}\right)^{1/n}$

انتخاب شود. یعنی اگر بطور متوسط در هر سال به اندازه ی r رشد داشته باشیم در پایان سال n همان مقدار رشد قبلی را خواهیم داشت.

میانگین توافقی

خودروئی فاصله ارومیه-تهران را با سرعت V₁ رفته و همین مسیر را با سرعت V₂ بر می گردد. متوسط سرعت او در این رفت و برگشت چقدر بوده است؟
همانطور که می دانید سرعت عبارت است از مسافت طی شده در واحد زمان. بنابرین واحد اندازه گیری آن ترکیبی است و بنابه توصیه باید از میانگین توافقی استفاده کرد، اما چرا؟
فرض کنید d مسافت و t زمان باشد، بنا به تعریف سرعت خواهیم داشت:

$V_1=\frac{d_1}{t_1},\qquad V_2=\frac{d_2}{t_2}\Rightarrow d_1=V_1 t_1,\qquad d_2=V_2 t_2$

بنابرین سرعت متوسط برابر خواهد بود با:

$\bar{V}=\frac{d_1+d_2}{t_1+t_2}=\frac{d_1+d_2}{\frac{d_1}{V_1}+\frac{d_2}{V_2}}$

حال اگر مسافت ها برابر باشند خواهیم داشت:

$\bar{V}=\frac{d_1+d_2}{t_1+t_2}=\frac{d_1+d_2}{\frac{d_1}{V_1}+\frac{d_2}{V_2}}= \frac{d+d}{\frac{d}{V_1}+\frac{d}{V_2}}=\frac{2}{\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2}}=\frac{2V_1 V_2}{V_1+V_2}$

آیا این فرمول آشنا نیست؟ شما فرمول فوق را در فیزیک دبیرستان دیده اید.

از آنچه که گفته شد نتیجه می شود که میانگینهای حسابی و توافقی اساسا متفاوت نیستند.

امیدوارم این بحث کوتاه بتواند در درک بهتر آمار و احتمال مفید باشد.

+ نوشته شده در پنجشنبه ۹ اردیبهشت ۱۳۸۹ ساعت 20:53 توسط غلامحسین غلامی |

ریاضی و آمار

تلاشی برای کاهش ریاضی هراسی در دانشجویان

انواع میانگین و کاربردهای آنها

نوشته‌های پیشین

پیوندها